设 $S$ 数组满足：

$\prod\limits_{i=1}^{n}{B_i\choose A_i}=\prod\limits_{i=1}^n{A_i+S_i\choose A_i}$

那么这个题目的意思就转化为了现在有 $n$ 组，每一组都有 $A_i$ 个元素，现在向内加入 $S_i$ 个元素，需要满足 $\sum\limits_{i=1}^nS_i\le M-\sum\limits_{i=1}^nA_i$。

也就是把原有的 $\sum\limits_{i=1}^n A_i$ 个元素和 $n-1$ 可板子放在一起，然后在 $\sum\limits_{i=1}^nA_i+n$ 可空子里插入不超过 $M-\sum\limits_{i=1}^n A_i$ 个元素。

先解决不超过的问题，考虑直接新添加一个空子把不用的元素全部丢过去，所以现在的空子就有 $\sum\limits_{i=1}^nA_i+n+1$ 个了。

把 $X$ 个元素插入 $Y$ 个空子就相当于把 $X$ 个元素分为 $Y$ 组，其中每一组可以为空。

那么用插板法做就是 $X+Y-1\choose Y-1$。

把 $X=M-\sum\limits_{i=1}^n A_i,y=\sum\limits_{i=1}^n A_i+n+1$ 带入式子得到：

${(M-\sum\limits_{i=1}^n A_i)+(\sum\limits_{i=1}^n A_i+n+1)-1\choose (\sum\limits_{i=1}^nA_i+n+1)-1}$

化简之后得到：

$n+M\choose \sum\limits_{i=1}^n A_i+n$